Question

某一次函数的图象与x轴相交于点A（8，0），与y轴相交于点B（0，6），动点P、Q分别同时从A、B出发，其中点P在线段AB上点向B移动，速度是2单位/秒．点Q在线段BO上，以1个单位/秒的速度向点O移动，设移动的时间为t（秒）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）四边形OAPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？
（4）若△BPQ是直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，把A（8，0），B（0，6）代入得到方程组，求出方程组的解，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数求出sinB，即可求出QD，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）分为3种情况：当BP=BQ时，t=10-2t，t=；当QB=QP时，t+2t=10，t=；当PB=PQ时，t=（10-2t），t=，即可得到答案．
（4）根据直角三角形的性质求出点P的坐标．
【解析】
（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），B（0，6）代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-x+6，
答：一次函数的解析式为y=-x+6．

（2）【解析】
∵OB=6，OA=8，
根据勾股定理得：AB=10，
△AOB的面积=×6×8=24，即可求出QD，
过点Q作QD⊥AB于D
∵sinB==
∴QD=BQ×=t
∴△BPQ的面积=×（10-2t）×t=-t2+4t
∴S=24-（-t2+4t）=t2-4t+24，
答：S与t之间的函数关系式是S=t2-4t+24．

（3）【解析】
当BP=BQ时 t=10-2t，t=
当QB=QP时t+2t=10，t=
当PB=PQ时
t=（10-2t），t=
综上所述．当t=或或时，△BPQ是等腰三角形，
答：当t=或或时，△BPQ是等腰三角形．

（4）【解析】
点P的坐标为（，），（，），
答：点P的坐标为（，），（，）．