Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求sin∠PCA的值．

Answer

（1）由弦CD⊥AB于点E，所以∠COE+∠OCE=90°，又∠POC=∠PCE，所以，∠PCE+∠OCE=90°，即可证明；
（2）由OE：EA=1：2，可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，易证△COE∽△POC，所以，CO2=OE•OP，代入即可求得；
（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，由PC⊥OC∴AH∥OC，得AH=2，在Rt△COE中，解得CE=，在Rt△ACE中，解得AC=，即可得出结论；
【解析】
（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，
∴可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，
在Rt△COP中，
∵CE⊥PO垂足为E，
∴△COE∽△POC，
∴CO2=OE•OP即（3k）2=k•（3k+6），
解得k=0（舍去）或k=1，
∴半径r=3；

（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，
∵PC⊥OC∴AH∥OC，
∴，即，解得AH=2，
在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=，
在Rt△ACE中，由CE=，AE=2，解得AC=，
在Rt△ACH中，由AC=，AH=2，
∴sin∠PCA===．