Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，并且DF交AC于点N，交BC于点Q，EF交AC于点M，则PQ的长为多少cm？
（2）在（1）的条件下，求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S；
（3）以斜边BC上距离C点xcm的点P为中心（P不是B、C），把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，设△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，可以得出PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，即可求出答案；
（2）根据△PMC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S△PMC；已知PC、S△PMC，可求PM，从而可得PQ，CQ，再由△NQC∽△ABC，相似比为CQ：CB，利用面积比等于相似比的平方求S△NQC，用S四边形NQPM=S△NQC-S△PMC求面积．
（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，如图所示，即P在CP1上、P在P1P2上、P在P2B上这三段．其中的P1、P2是两个特殊的位置：P1的位置是FD与AB有部分重合；P2的位置是FE过A点．首先求出CP1的长．对于图2中的P1位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，MN=x，所以NC=NM+MC=x，从而AN=AC-NC=4-x，由AN=0求出x=；对于图2中点P2的位置，容易求得P2C=，
①当P在CP1间，即0＜x≤时，可以求出函数解析式；
②当P在P1P2间，即＜x≤时，由y=S△ABC-S△CPM可以求出函数解析式；
③当P在P2B间，即＜x＜5时，求出函数解析式．
【解析】
（1）∵以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S△ABC=6，
∵S△PMC：S△ABC=1：4，即S△PMC=，
∴PM=PQ=，
∴QC=，
∴S△NQC：S△ABC=QC2：BC2=（）2：52，
∴S△NQC=，
∴S四边形NQPM=S△NQC-S△PMC=1.44cm2．

（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图所示，即P在CP1上、P在P1P2上、P在P2B上这三段．其中的P1、P2是两个特殊的位置：P1的位置是FD与AB有部分重合；P2的位置是FE过A点．下面先求出CP1的长．
对于图2中的P1位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，
MN=x，∴NC=NM+MC=x+x=x，
从而AN=AC-NC=4-x，
由AN=0，解得x=；（10分）
对于图2中点P2的位置，容易求得P2C=．（11分）
①当P在CP1间，即0＜x≤时，
y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM
=PC•MP-FN•NM
=x•x-×x•x=x2，（12分）
②当P在P1P2间，即＜x≤时，y=S△ABC-S△CPM=6-•x•x=6-x2；（13分）
③当P在P2B间，即＜x＜5时，y=S△MPB=•（5-x）•（5-x）=（5-x）2．（14分）
故：当0＜x≤时，y=x2；
当＜x≤时，y=6-x2；
当＜x＜5时，y=（5-x）2．