Question

如图，将抛物线y=x²沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l，直线y=-2．
（1）求抛物线l的解析式；
（2）点A是抛物线l上一点，点B是直线y=-2上一点，是否存在等腰△OAB？若存在，求点A，B两点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若将上题中的“沿x轴正方向平移3个单位”改为“沿x轴正方向平移n个单位”，其它条件不变，探究上题（2）中的问题．

Answer

（1）根据平移的性质即可得出抛物线l的解析式；
（2）存在，根据等腰三角形的性质，OA=OB，根据这一条件和点A在抛物线上的条件便可求出A、B两点的坐标；
（3）先求出抛物线y=x2沿x轴正方向平移n个单位后的抛物线的解析式，再根据等腰三角形的性质便可求出A、B两点的坐标．
【解析】
（1）抛物线y=x2沿x轴正方向平移3个单位得到抛物线l的解析式为y=（x-3）2；

（2）存在，当OA=OB时，即AB关于x轴对称时，三角形OAB为的等腰三角形，
设B点坐标为（x，-2）则A点坐标为A（x，2），
又∵点A是抛物线l上一点，
∴（x-3）2=2，解得x=3+或x=3-，
∴AB两点的坐标分别为A（3+，2），B（3+，-2）或为A（3-，2），B（3-，-2）；

（3）抛物线y=x2沿x轴正方向平移n个单位得到抛物线l的解析式为y=（x-n）2；
若三角形OAB为的等腰三角形，则OA=OB，即AB关于x轴对称，
设B点坐标为（x，-2）则A点坐标为A（x，2），
又∵点A是抛物线l上一点，
∴（x-n）2=2，解得x=n+或x=n-，
∴AB两点的坐标分别为A（n+，2），B（n+，-2）或为A（n-，2），B（n-，-2）；