Question

在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连接E₁F₁G₁H₁所得的四边形我们称之为中点四边形，如图
（1）求证：四边形E₁F₁G₁H₁是菱形；
（2）设E₁F₁G₁H₁的中点四边形是E₂F₂G₂H₂，E₂F₂G₂H₂的中点四边形是E₃F₃G₃H₃…．E_n-1F_n-1G_n-1H_n-1的中点四边形是E_nF_nG_nH_n，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？______（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性______；
（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f（0）表示；菱形的中点四边形用f（1）表示，由题（1）知，f（0）=1，那么f（1）=______．

Answer

（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．
（1）证明：连接AC、BD，
∵点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，
∴E1H1=BD，同理F1G1=BD，H1G1=AC，E1F1=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴E1H1=F1G1=H1G1=E1F1，
∴四边形E1F1G1H1是菱形．

（2）【解析】
有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．

（3）【解析】
∵矩形的中点四边形为菱形，
即：f（0）=1，
∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f（1）=0．