Question

如图，点A（4，m）在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax²的图象上，过点A作直线y=n的垂线，垂足为E，点E关于直线y=2x-4的对称点F在y轴上，点C是直线y=2x-4与y轴的交点．
（1）求二次函数解析式；
（2）求实数n的值；
（3）二次函数y=ax²的图象上是否存在一点P，且满足PA=PC？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先根据点A（4，m）在一次函数y=2x-4和二次函数y=ax2的图象上，代入首先求得m的值，进而确定A坐标的具体值，再代入确定a的值．此时二次函数解析式确定．
（2）过E作AC的垂线EF交y轴于点F．由（1）知A点的坐标为（4，4），则E点的坐标为（4，n），并设F点的坐标为（0，k）．根据EF垂直于AC写出EF的斜率，再根据E、F点的坐标写出直线EF关于n、k的表达式．根据AF=AE，根据坐标点A、E、F写出关于n、k的表达式．联立解得n的值．
（3）设存在P点的坐标为（t，）．根据C是直线y=2x-4与y轴的交点确定出C点的坐标．利用PA=PC与两点间的距离公式求出t的值，代入即可求出P点的具体值．
【解析】
（1）∵点A（4，m）在一次函数y=2x-4图象上
∴m=2×4-4=4，即A点的坐标为（4，4）
∵点A（4，4）二次函数y=ax2的图象上
∴4=a×42，即a=
∴二次函数解析式是

（2）由（1）知A点的坐标为（4，4），则E点的坐标为（4，n）
设F点的坐标为（0，k），由M点在直线AC上可知M（，n），
则EM=4-=，AE=4-n，
∵直线EF⊥AC，∴△EFG∽△AME，
∴=，即=，解得FG=2，
由AF=AE，得=4-n，解得n=-1；

（3）设存在P点的坐标为（t，）
∵点C是直线y=2x-4与y轴的交点
∴点C的坐标为（0，-4）
∵PA=PC
∴⇒t2+2t-4=0，解得t=或t=
则P点的坐标为（-1+，）或（-1-，）
答：y=x2；n=-1；P（-1+，）或（-1-，）