Question

如图，I为△ABC的内心，AI交△ABC的外接圆O于点D，交BC于点P，连接BD、BI、CI，则下列结论：
①DI=DB；②DB²=DP•DA；③AB•AC=PA•PD；④∠BIC=90°+∠BOC．其中正确的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据I为△ABC的内心，得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，则=，根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠CAD=∠CBD，再根据外角的性质得出∠DBI=∠DIB，则DI=DB；可证明△DBP∽△DAB，即可得出DB 2=DP•DA；可证明∠BIC=90°+∠BAC．从而得出∠BIC=90°+∠BOC．
【解析】
∵I为△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴=，
∴∠CAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBP+∠PBI，
∴∠DBI=∠DIB，
∴DI=DB，故①正确；
∵△DBP∽△DAB，
∴=，
即DB2=DP•DA，故②正确；
根据相交弦定理，得PB•PC=PA•PD，而△ABP与△ACP一定不相似，
∴AB•AC=PA•PD不成立，故③不正确；
∵∠BIC=90°+∠BAC，∠BOC=2∠BAC，
∴∠BIC=90°+∠BOC．故④正确．
故选C．