Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，切线长DE=，求cos∠C的值．

Answer

（1）连接AD，AB是直径可得∠ADB=∠ADC=90°，而D是中点则有BD=CD，结合AD=AD，易证△ABD≌△ACD，从而有AB=AC；
（2）连接OD，由O、D是中点易证OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，于是∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（3）由于∠4+∠3=90°，∠C+∠3=90°，易得∠4=∠C，而∠1=∠2，易证△AED∽△DEC，从而有，由于OA=3，那么AB=AC=6，于是可设AE=x，则CE=6-x，代入比例关系式，易求得x1=2，x2=4，从而可分两种情况来讨论：①当AE=x1=2时，CE=6-2=4，利用勾股定理可先求CD，从而易求cos∠C；②当AE=x2=4时，CE=6-4=2，解法同①．
（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°①，
又∵D是BC的中点，
∴BD=CD②，
而AD=AD③，
由①②③得△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC；

（2）证明：连接OD，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（3）【解析】
在Rt△AED中，∠4+∠3=90°，
在Rt△ADC中，∠C+∠3=90°，
∴∠4=∠C，
又∵∠2=∠1，
∴△AED∽△DEC，
∴④，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=AC=6，
设AE=x，则CE=6-x，
又，
代入④得，
解得x1=2，x2=4，
①当AE=x1=2时，CE=6-2=4，
在Rt△DEC中，=，
∴，
②当AE=x2=4时，CE=6-4=2，=，
∴．