Question

如图，把一块含60°的三角尺ACB与边长为2的正方形ACFG按如图所示重叠在一起，∠B=30°．若把三角尺绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△PCN，PC，PN交AB于D、E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）△ACB至少旋转多少度才能得到△PCN？请通过计算说明理由；
（3）试求出△ACB与△PCN的重叠部分（即四边形CDEF）的面积（精确到0.01）．

Answer

（1）根据直角三角形两锐角互余求解；
（2）旋转角度即∠ACP．根据旋转的性质有∠P=∠BAC=60°，CP=CA=CF．所以△PCF为等边三角形，∠PCF=60°．故可求旋转角度．
（3）S阴影部分=S△PCF-S△PDE．已知等边三角形的边长，易求其面积；根据题意△PDE为直角三角形，其面积=DE×PD．而PD=PC-CD，CD可在Rt△ACD中运用三角函数计算．
【解析】
（1）∠BAC=90°-30°=60°．

（2）∵AC=CP=CF，又∠CPN=∠CAB=60°，
∴△PCF是等边三角形．
∴∠PCF=60°．
∴∠ACP=90°-∠PCF=30°，即△ABC旋转30°时，得到△PCN．

（3）在△ACD中，∠ACD=30°，∠BAC=60°，
∴∠ADC=90°，AD=AC=1，CD=AC•Sin60°=，
∴PD=2-，
DE=PD•tan60°=2-3．
∴△PDE的面积为：PD•DE=．
又∵S△PCF=CF•CP•sin60°=，
∴四边形DCFE的面积为：-（）≈1.67．