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如图,把一块含60°的三角尺ACB与边长为2的正方形ACFG按如图所示重叠在一起...

如图,把一块含60°的三角尺ACB与边长为2的正方形ACFG按如图所示重叠在一起,∠B=30°.若把三角尺绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△PCN,PC,PN交AB于D、E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)△ACB至少旋转多少度才能得到△PCN?请通过计算说明理由;
(3)试求出△ACB与△PCN的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(精确到0.01).

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(1)根据直角三角形两锐角互余求解; (2)旋转角度即∠ACP.根据旋转的性质有∠P=∠BAC=60°,CP=CA=CF.所以△PCF为等边三角形,∠PCF=60°.故可求旋转角度. (3)S阴影部分=S△PCF-S△PDE.已知等边三角形的边长,易求其面积;根据题意△PDE为直角三角形,其面积=DE×PD.而PD=PC-CD,CD可在Rt△ACD中运用三角函数计算. 【解析】 (1)∠BAC=90°-30°=60°. (2)∵AC=CP=CF,又∠CPN=∠CAB=60°, ∴△PCF是等边三角形. ∴∠PCF=60°. ∴∠ACP=90°-∠PCF=30°,即△ABC旋转30°时,得到△PCN. (3)在△ACD中,∠ACD=30°,∠BAC=60°, ∴∠ADC=90°,AD=AC=1,CD=AC•Sin60°=, ∴PD=2-, DE=PD•tan60°=2-3. ∴△PDE的面积为:PD•DE=. 又∵S△PCF=CF•CP•sin60°=, ∴四边形DCFE的面积为:-()≈1.67.
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考点分析:
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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0)、(4,3),动点M、N分别从点O、B同时出发,以每小时1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NP⊥BC交AC于点P,连接MP.
(1)直接写出OA的长度;
(2)试说明△CPN∽△CAB的理由;
(3)试探究在两点的运动过程中,△MPA的面积是否存在着最大值?若不存在,请说明理由;若存在,则求出此时运动了多少小时,并求出△MPA面积的最大值.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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