Question

如图，抛物线E：y=ax²（a＞0）沿x轴正方向平移2个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是线段OB上一动点．
（1）求点A的坐标；
（2）求证：△AOB是等腰三角形；
（3）当a为何值时，直线AC把△AOB分割成的两个三角形均为等腰三角形？

Answer

（1）由于抛物线E：y=ax2（a＞0）沿x轴正方向平移2个单位得到抛物线F，所以根据平移规律得到F的解析式为y=a（x-2）2，联立两个抛物线的解析式解方程组即可得到A的坐标；
（2）过点A作AD⊥OB于D，根据平移可以得到点B的坐标为（0，2），由此得到OB和OD的长度，由此即可得到点D是OB的中点，最后利用等腰三角形的判定即可证明△AOB是等腰三角形；
（3）设∠AOB=∠ABO=x°，当AC=CB=OC时，满足条件如图①所示，则4x=180，解方程即可解决问题；
当AC=OC，AB=CB时，满足条件如图②所示，则5x=180，解方程解决问题．
【解析】
（1）y=ax2平移后得到抛物线F的解析式为y=a（x-2）2，
∴
解得：，
点A的坐标为（1，a）；

证明：（2）过点A作AD⊥OB于D
∴点B的坐标为（0，2）
∴OB=2，OD=1，
∴点D是OB的中点，
∴OA=BA，
△AOB是等腰三角形；

（3）设∠AOB=∠ABO=x°，
当AC=CB=OC时，满足条件如图①所示，
则x+x+x+x=180，
∴x=45°，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴a=1；
当AC=OC，AB=CB时，满足条件如图②所示，则 x+x+x+2x=180，
∴x=36°，
过A作AD⊥OB于D，则AD=a，OD=1，
在Rt△AOD中，a=OD•tan36°≈0.6．