Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，OF⊥AC于F．
（1）请写出三条与BC相关的正确结论；（不必证明）
（2）若∠D=30°，BC=2，求出圆中阴影的面积．

Answer

（1）由CD⊥AB，根据垂径定理得到AB平分BD弧，得到BC=BD；又AB是⊙O的直径，根据圆周角的推论得到∠ACB=90°，而OF⊥AC，则OF为△ACB的中位线，即可得到BC于OF的关系；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠D=60°，得到△BOC是等边三角形，⊙O的半径OC=2，则∠AOC=120°，OF=1，根据扇形的面积公式计算出扇形OAC的面积；又在直角△ABC中，AC=BC=，根据三角形的面积公式计算出△AOC的面积，然后利用S阴影=S扇形AOC-S△AOC计算即可．
【解析】
（1）BC=BD，BC=2OF，BC∥OF；

（2）连接OC，如图，
∵∠D=30°
∴∠BOC=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，⊙O的半径OC=2，
∴∠AOC=120°，OF=1，
∴S扇形AOC=，
∵AB是直径
∴∠ACB=90°，∠A=∠D=30°
在直角△ABC中，AC=BC=，
∴S△AOC=，
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=．