Question

如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形沿着BD方向移动，设BB′=x．
（1）当x为多少时，才能使平移后的矩形与原矩形重叠部分的面积为24cm²？
（2）依次连接A′A，AC，CC′，C′A′，四边形ACC′A′可能是菱形吗？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）要使三角形B′ED的面积为24，可先用x表示出B′E，ED，然后根据三角形的面积公式列出关于x的方程，从而得出x的值，那么用x表示出B′E，ED是解题的关键，这点可以用三角形ABD和EB′D相似得出的线段间的比例来求得；
（2）根据矩形A′B′C′D′是有矩形ABCD平移后得出的，因此AA′CC′是个平行四边形，要想使AA′CC′成为菱形，那么AA′=AC，也就是说，平移的距离应该等于AC的长，AC是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，那么AC=10，因此当BB′=10时，ACC′A′是菱形．
【解析】
（1）∵B′E∥AB，
∴△DB′E∽△DBA．
∴，
∴B′E=（10-x）．
同理：B′F=（10-x）．
∴（10-x）•（10-x）=24．
解得x=10±5．
∵x=10+5＞10，不符合题意，舍去，
∴x=10-5时，重叠部分的面积为24cm2．

（2）四边形A′ACC′可能是菱形．
∵矩形ABCD沿BD平移后矩形A′B′C′D′，
∴AA′∥CC′，且AA′=CC′．
∴四边形A′ACC′是平行四边形．
∵AB∥A′B′，AB=A′B′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形．
∴BB′=AA′．
∴当BB′=10时，AA′=AC=10，此时四边形A′ACC′是菱形．