Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．
（1）求△DEF的边长；
（2）求M点、N点在BA上的移动速度；
（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

Answer

（1）由题意知：当F与C点重合时D正好在AB上，此时三角形ACD中，∠ACD=90°-60°=30°，而∠A=60°，因此∠ADC=90°，可在直角三角形BCD中，根据∠B的正弦值及BC的长求出等边三角形的边长；
（2）可设△DEF从初始位置移动x秒后得到△D1E1F1，那么在x秒内M点移动的距离就是BM的长，由于∠D1MN=∠BME1=∠ABC=30°，因此△BE1M是个等腰三角形，过E1作E1G⊥BM，那么BG=GM=BM，可在直角三角形BE1G中，根据BE1的长求出E1G（BE1的长就是△BDF平移的距离），由此可得出BM的长除以用的时间即可得出M点的速度．求N点的速度解法类似，过F作FH⊥D1F1，设垂足为H，那么FH就是N点移动的距离，同样可在直角三角形FHF1中求出FH的长，进而可得出其速度；
（3）本题要先找出几个关键点：当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出t=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时t=．
①当P在DM之间时，即0≤x≤1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP1⊥MN于P1，那么PP1就是MN边上的高，可在直角三角形MPP1中根据MP的长和∠PMP1的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式．
②当P在EM之间时，即1＜x≤，可过P作PP2⊥AB与P2，那么PP2的长可在直角三角形PP2M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式．
③当P在EF上运动时，即≤x≤3，解法同上．
根据上述三种情况得出的函数的性质及各自的自变量的取值范围，可求得S的最大值及对应的x的值．
【解析】
（1）当F点与C点重合时，如图1所示：
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DFE=60°
∵∠B=30°，
∴∠BDF=90°
∴FD=BC=3；

（2）过E点作EG⊥AB，
∵∠DEF=60°，∠B=30°，
∴∠BME=30°，
∴EB=EM
在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x，
∴BM=2BG=x，
∴M点在BA上的移动速度为=，
F点作FH⊥F1D1，在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=x，
点N在BA上的移动速度为=；

（3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°==（3-x），
当P点运动到M点时，有2x+x=3，
∴x=1
①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1
在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x，
∴PP1=（3-3x）=（1-x），
∴y与x的函数关系式为：y=×（3-x）×（1-x）=（x2-4x+3）（0≤x≤1），
②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2，
在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1），
∴PP2=（1-x），
∴y与x的函数关系式为：y=×（3-x）×（1-x），
=-（x2-4x+3）（1＜x≤）．
③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3，
在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP3=（x-1），
∴y与x的函数关系式为：y=×（3-x）×（x-1），
=-（x2-4x+3）（≤x≤3），
∴y=-（x-2）2+，
∴当x=2时，y最大=，
而当P点在D点时，y=×3××=，
∵＞，
∴当P点在D点时，△PMN的面积最大．