Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（m+1）x+m（m是常数）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A、B两点在原点两侧．   
（1）求A、B两点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）若S_△ABC=6，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，试判断△ACD的形状，并求tan∠ACB的值．

Answer

（1）根据x2-（m+1）x+m=0，求出方程的根，即可得出A，B的坐标；
（2）利用|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，S△ABC=6，得出m的值即可得出抛物线的解析式；
（3）利用勾股定理逆定理求出△ACD是直角三角形，再利用∠OAC=∠OCA=45°，得出tan∠ACB的值．
【解析】
（1）令y=0，则x2-（m+1）x+m=0，
∴x1=m，x2=1，
∵点A在点B左侧，且A、B两点在原点两侧．
∴A（m，0）B（1，0）；

（2）抛物线与y轴交于点C（0，m），
∵A、B两点在原点两侧，
∴m＜0，
∴|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，
∵S△ABC=6，
∴，
∴m=-3，m=4（舍去），
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（3）抛物线的顶点D（-1，-4），
AD=，，，
∴AD2=AC2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB=4，
∴AE=BE=，，
∴tan∠ACB=．