Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是AC上一动点（P不与A、C两点重合），连接PB，以PB为直径的圆交AB于点D，过点D作AC的垂线分别交AC于点E、交圆于点F，连接PF交AB于G．
（1）试问当点P在AC上运动时，∠BPF的大小是否发生变化，请证明你的结论；
（2）设PC=x，EF=y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）当点P在AC上运动时，判断△DPG与△CBP、△EFP与△DPG是否分别一定相似？若一定相似，请加以证明；若不一定相似，请指出当x为何值时，它们就能相似？

Answer

（1）利用已知得出∠BDF=∠CBD，进而得出∠CBD=45°，即可求出∠FPB=45°；
（2）首先证明△PDB∽△PEF，再表示出BD的长即可得出答案；
（3）首先证明∠PBC=∠DPF，进而得出△DPG∽△CBP，进而得出△EFP∽△DPG时x的值．
【解析】
（1）∠FPB的大小不变，∠FPB=45°，
∵EF⊥AC，∠C=90°，
∴EF∥CB，
∴∠BDF=∠CBD，
∵AC=BC，
∵∠FPB=∠BDF，
∴∠FPB=45°，

（2）∵PB为圆的直径，
∴∠PDB=∠ADP=90°，
∵∠A=45°，
∴，
∵DE⊥AC，
∴，
∵∠PDB=∠PEF，∠1=∠2，
∴△PDB∽△PEF，
∴，
∴，
∴（0＜x＜4），

（3）△DPG与△CBP一定相似．连接BF，
∵∠FPB=45°，∠PFB=90°，
∴∠FBP=45°即∠2+∠4=45°，
∵∠2+∠5=∠ABC=45°，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵∠PDB=∠C=90°，
∴△DPG∽△CBP，
△EFP与△DPG不一定相似，
当∠1=∠3时，才有△EFP∽△DPG，
∵∠1=2，∠3=∠5，
∴∠2=∠5，
∴PC=PD=x，
由△APD∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有△EFP∽△DPG．