Question

已知：二次函数y=x²-4x+m的图象与x轴交于不同的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x₁+1）（x₂+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A₁、B₁，顶点为点C₁，且△A₁B₁C₁是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

Answer

（1）由二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点，可得判别式△＞0，然后由△=16-4m，即可求得实数m的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可得x1•x2=m，x1+x2=4，又由（x1+1）（x2+1）=8，即可求得m的值，继而求得此二次函数的解析式；
（3）设平移b个单位，由对称轴为x=2，C（2，-1），即可得C1（2，-1+b），又由△A1B1C1是等边三角形，根据三角函数的性质，即可求得b的值，继而求得平移后所得图象的函数解析式．
【解析】
（1）∵二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点，
∴△=16-4m＞0，
∴m＜4，
∴实数m的取值范围为：m＜4；

（2）∵y=x2-4x+m，
∴x1•x2=m，x1+x2=4，
由（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=8，
即m+4+1=8，
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=x2-4x+3；

（3）∵对称轴为x=2，C（2，-1），
设平移b个单位，
则y=x2-4x+3+b=（x-2）2-1+b，
∴C1（2，-1+b），
根据勾股关系得出：||=，
又∵x1•x2=3+b，x1+x2=4，
∴（x1-x2）2=4-4b，
解得：b=-2或1，
代入函数，b=1时，与x轴只有一个交点，不适合，
当b=-2时，y=x2-4x+1，原函数图象向下平移2个单位可得．
∴平移后所得图象的函数解析式为：y=x2-4x+1．