Question

已知：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE：AB=1：3．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）点F是弧ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．

Answer

（1）先连接OA，由AE：AB=1：3，设AE=x，则AB=3x．根据OB⊥AD于E，BE=8，利用勾股定理求出AE的长、AB的长，再在Rt△AEO中，根据勾股定理求出AO的长，又因为AB2+OA2=81，OB2=81，所以OB2=AB2+OA2．从而证得△OAB是直角三角形．所以OA⊥AB．从而证得AB是⊙O的切线．
（2）作直径AM，连接DM，得到∠DOM=2∠OAE，再由∠B=∠OAE，得到∠DOM=2∠B．由点O是AM的中点，点E是AD的中点，OE=1，得到DM=2OE=2．再将△ODM绕点O顺时针方向旋转，得到∠AOF=∠DOM=2∠B，当点D与点A重合时，点M与点F重合．从而求得AF=DM=2．
（1）证明：连接OA．
∵AE：AB=1：3，
∴设AE=x，则AB=3x．
∵OB⊥AD于E，BE=8，
∴（3x）2=x2+82．
解得x=2（舍负）．
∴AE=2，AB=6．
∵OE=1，
∴AO==3．
∵AB2+OA2=81，OB2=81，
∴OB2=AB2+OA2．
∴△OAB是直角三角形．
∴OA⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）【解析】
作直径AM，连接DM．
∴∠DOM=2∠OAE．
∵∠B=∠OAE，
∴∠DOM=2∠B．
∵点O是AM的中点，点E是AD的中点，OE=1，
∴DM=2OE=2．
将△ODM绕点O顺时针方向旋转，
∵∠AOF=∠DOM=2∠B，
∴当点D与点A重合时，点M与点F重合．
∴AF=DM=2．