Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E，F两点，与y轴交于C、D两点，过C点作⊙A的切线BC交x轴于B
（1）求直线BC的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为⊙A与x轴的交点，求抛物线的解析式；
（3）问C点是否在所求的抛物线上？

Answer

（1）首先连接AC，在Rt△AOC中，由⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0）求得点C的坐标，又由△AOC∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得B点的坐标，然后又待定系数即可求得直线BC的解析式；
（2）首先求得点与F的坐标，然后设两点式y=a（x+2）（x-6），又由顶点在直线BC上，即可求得抛物线的解析式；
（3）由当x=0时，y=2，可得C点在所求的抛物线y=-x2+x+2上．
【解析】
（1）连接AC，
∵BC是⊙A的切线，
∴∠BCA=90°，
∵⊙A的半径为4，A的坐标为（2，0），
∴C（0，），
∵OC⊥AB，
∴△AOC∽△ACB，
∴AC2=OA•AB，
∵42=2×AB得AB=8，
∴B（-6，0），
∴直线BC的解析式为y=x+2（4分）；

（2）∵E（-2，0）、F（6，0），
设y=a（x+2）（x-6）=a（x-2）2-16a，
由于顶点在直线BC上，
故（2，-16a）代入y=x+2，
可得a=-，
∴求得抛物线的解析式为y=-x2+x+2（5分）；

（3）当x=0时，y=2，
∴C点在所求的抛物线y=-x2+x+2上．（3分）