Question

已知二次函数y=a（x+1）²+2的图象与y轴的交点为（0，）．
（1）求该二次函数的关系式及二次函数图象与x轴的交点；
（2）求证：对任意实数b，点B（b，-b²）都不在这个二次函数的图象上．

Answer

（1）首先把（0，）代入y=a（x+1）2+2求出a值，继而求出二次函数解析式；再令y=0进而求出二次函数图象与x轴的交点；
（2）把点B（b，-b2）代入已求出的二次函数的解析式中，得到关于b的一元二次方程，若方程有解则在二次函数的图象上；无解则不在这个二次函数的图象上．
【解析】
（1）把（0，）代入y=a（x+1）2+2得：
=a（0+1）2+2，
∴a=-，
∴y=-（x+1）2+2，
令y=0，即0=-（x+1）2+2，
解得：x1=-3，x2=1，
∴与x轴的交点为（-3，0）（1，0）；

（2）证明：若点B在这个二次函数的图象上，则-b2=-（b+1）2+2，
得b2-2b+3=0，
因为该方程根的判别式：4-12=-8＜0，方程无解，
所以，对任意实数b，点B（b，-b2）都不在这个二次函数的图象上．