Question

如图，已知二次函数y=ax²+c图象的顶点为点M（0，-9），且经过点A（3，0）．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）设点D（x，y）是此二次函数图象上一动点，且位于第三象限，点C的坐标为（-5，0），四边形ABCD是以AC为对角线的平行四边形．
①求平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当点B在此二次函数图象的对称轴上时，求平行四边形ABCD的面积；
③当平行四边形ABCD的面积为64时，请判断平行四边形ABCD是否为菱形？
④是否存在点D，使平行四边形ABCD为正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将A、M两点坐标代入y=ax2+c即可求得抛物线的解析式；
（2）①根据D点坐标，用y表示出平行四边形ABCD的面积S，进而便可求出平行四边形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，
②过点D作DE⊥AC，根据三角形全等的性质，求出OE的长，便可求出平行四边形ABCD的面积，
③根据平行四边形的面积求出D点坐标，进而可判断平行四边形ABCD为菱形，
④不存在，先求出使平行四边形ABCD为正方形是D点的坐标，进而判断D点不在抛物线上，即不存在D点坐标满足题中条件．
【解析】
（1）由题意得（1分）
解之，得（2分）
故二次函数的关系式为y=x2-9（3分）

（2）①D（x，y）在二次函数的图象上，且位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0，-y表示点D到AC的距离．
∵AC是平行四边形ABCD的对角线，
∴．（5分）
当y=0时，x2-9=0，得x=±3
所以二次函数的图象与x轴的另一个交点是（-3，0），
所以，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．（6分）
②如图：当点B在此二次函数图象的对称轴上时，
过点D作DE⊥AC，垂足为点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠DCE=∠BAO，∠CED=∠AOB=90°，
∴△ABO≌△CDE
∵点B在二次函数的图象的对称轴上OA=3，
∴CE=OA=3，
所以OE=2，所以当x=-2时，y=-5，S=40；（8分）
③根据题意，当S=64时，即-8x2+72=64．
解之，得x1=1，x2=-1．
故所求的点D有两个，分别为D1（1，-8）（舍去），D2（-1，-8）．（9分）
所以平行四边形ABCD不是菱形（或者说明点D不在第三象限）；
点D2（-1，-8）满足DC=DA，
所以平行四边形ABCD是菱形．（10分）
④当AC⊥BD，且AC=BD时，
平行四边形ABCD是正方形，此时点D的坐标只能是（-1，-4）．（11分）
而坐标为（-1，-4）的点不在二次函数的图象上，
故不存在这样的点D，使平行四边形ABCD为正方形．（12分）