Question

如图，已知A（1，），B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，则点C坐标为（ ）

A．（2，0）
B．（，0）
C．（-1，0）
D．（2-2，0）

Answer

先由A（1，），B（4，0）求出OA，AB，通过勾股定理逆定理得△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，由∠OAB的平分线AC得CE=CF，然后由
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积求出CF，在直角三角形BFC中，由三角函数求出BC，从而求出OC，即得点C的坐标．
【解析】
已知A（1，），B（4，0），
∴OA==2，
AB==2，
OB=4，
22+=42，即：OA2+AB2=OB2，
∴△AOB为直角三角形，∠OAB=90°，
又OA=2，OB=4，
∴∠ABO=30°，
过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，
∵∠OAB的平分线AC，
∴CE=CF，
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积，
则：OA•CE+AB•CF=OA•AB，
∴CF+CF=2，
得：CF=3-，
在直角三角形BFC中，
BC===6-2，
∴OC=OB-BC=4-（6-2）=2-2，
所以点C的坐标为：（2-2，0），
故选：D．