Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+2的图象经过点A和点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）把（1）中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交点？写出此时抛物线的解析式．
（3）将（2）中的抛物线向右平移个单位长度，再向下平移t个单位长度（t＞0），此时，抛物线与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P．当t为何值时，过M、N、P三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer

（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），可用待定系数求出抛物线的解析式；
（2）原抛物线的解析式可配方为，顶点坐标为（，-），先向左平移1个单位长度，再平移使抛物线与直线AB只有一个交点，得新抛物线的顶点为（，0），设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，把新抛物线的顶点坐标代入即可；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=3．因此过P，M，N三点的圆的圆心必在直线x=3上，要使圆的面积最小，那么圆心到P点的距离也要最小（设圆心为C），即P，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是3．求出P点的坐标．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离，即t的值．
【解析】
（1）由图象可知A（1，0），B（4，6），代入y=ax2+bx+2．
得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2．

（2）原抛物线的解析式可配方为，抛物线向左平移1个单位长度后解析式为，设向上或向下平移h个单位长度，则解析式为．
由A、B两点坐标可求得直线AB的解析式为y=2x-2，
由
得，化简得x2-3x+h+2=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，即此一元二次方程只有唯一的根，
∴b2-4ac=0，即9-4×（h+2）=0．∴，也就是抛物线再向上平移个单位长度能与直线AB只有一个交点，此时抛物线的解析式为．

（3）抛物线向右平移个单位长度，再向下平移t个单位长度，
解析式为y=（x-3）2-t．
令y=0，即（x-3）2-t=0，则x1=3+，x2=3-．
由（2）知：点P（0，-2）．
∵过M、N、P三点的圆的圆心一定在直线x=3上，点P为定点，
∴要使圆的面积最小，圆的半径应等于点P到直线x=3的距离，此时，半径为3，面积为9π．
设圆心为C，MN的中点为E，连接CE，CM．
在三角形CEM中，∵ME2+CE2=CM2，
∴（）2+22=32，∴t=5．
∴当t=5时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为9π．