Question

如图，已知二次函数y=ax²-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．
（1）求一次函数解析式；
（2）求顶点P的坐标；
（3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且，求点M坐标；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．

Answer

（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；
（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；
（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）
（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．
【解析】
（1）∵A（-1，0），
∴OA=1
∵OB=3OA，
∴B（0，3）（1分）
∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2分）

（2）∵二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交于点B（0，3），
∴c=3，a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3（3分）
∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点P（1，4）（4分）

（3）设平移后的直线的解析式为：y=3x+m
∵直线y=3x+m过P（1，4），
∴m=1，
∴平移后的直线为y=3x+1
∵M在直线y=3x+1，且
设M（x，3x+1）
①当点M在x轴上方时，有，
∴，
∴（5分）
②当点M在x轴下方时，有，
∴，
∴，）（6分）

（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，
当-x2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，
∴A（-1，0），
P点坐标为（1，4），
则可得PD解析式为：y=2x+2，
根据ND′⊥PD，
设ND′解析式为y=kx+b，
则k=-，
将D′（2，2）代入即可求出b的值，
可得函数解析式为y=-x+3，
将两函数解析式组成方程组得：，
解得，
故N（，），
由两点间的距离公式：d==，
∴所求最小值为（7分）