Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A在y轴上，点C在x轴上，且，OB=OC．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF．
①判断EF与PM的位置关系；
②当t为何值时，EG=2？

Answer

（1）根据已知得出OB=OC=10，BN=OA=8，即可得出B点的坐标；
（2）利用△BON∽△POH，得出对应线段成比例，即可得出S与t之间的函数关系式；
（3）①利用∠RPM+∠RMP=90°，∠HPD+∠HDP=90°，得出∠EMP=∠HPM，三角形三线合一得出；
②利用△MGB∽△N′BO，分别进行讨论得出当点G在点E上方时，以及当点G在点E下方时得出t的值即可．
【解析】
（1）如图1，过点B作BN⊥OC，垂足为N
∵，OB=OC，
∴OA=8，OC=10（1分）
∴OB=OC=10，BN=OA=8，
∴．
∴B（6，8）（2分）

（2）如图1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°．
∴△BON∽△POH，
∴
∵PC=5t．∴OP=10-5t．
∵BO=10，PO=10-5t，ON=6，
∴=，
∴OH=6-3t，
同理可得，PH=8-4t．
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=（3t+4）（8-4t）=-6t2+4t+16（3分），
∴t的取值范围是：0≤t＜2（4分）

（3）①EF⊥PM（5分）
∵MR⊥OC，PH⊥OB，
∴∠RPM+∠RMP=90°，∠HPD+∠HDP=90°
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵BC∥PM，
∴∠RPM=∠HDP，
∴∠RMP=∠HPD，即：∠EMP=∠HPM，
∴EM=EP
∵点F为PM的中点，
∴EF⊥PM（6分）；
②如图2，过点B作BN′⊥OC，垂足为N′，BN′=8，CN′=4
∵BC∥PM，MR⊥OC，
∴△MRP≌△BN′C，
∴PR=CN′=4
设EM=x，则EP=x，在△PER中，∠ERP=90°，RE=MR-ME=8-x
有x2-（8-x）2=42，
∴x=5，
∴ME=5
∵△MGB∽△N′BO，
∴
∵PM∥CB，AB∥OC，
∴四边形BMPC是平行四边形．
∴BM=PC=5t．
第一种情况：当点G在点E上方时（如图2）
∵EG=2，
∴MG=EM-EG=5-2=3，
∴，
∴t=（7分）；

第二种情况：当点G在点E下方时（如图3）MG=ME+EG=5+2=7，
∴，
∴t=（8分）
∴当t=或时，EG=2．