Question

如图，已知AB是⊙O的直径，且⊙O经过BC的中点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，BC=6cm，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OD，由已知D为BC中点，且O为AB中点，所以线段OD为三角形ABC的中位线，根据三角形中位线性质得到OD与AC平行，由ED与AC垂直，得到ED与OD垂直，又OD为圆O的半径，从而得到DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等得到角C与角ODB相等，根据等边对等角得到角B与角ODB相等，等量代换得到角B与角C相等，都为30°，过O作OH于BD垂直，垂足为H，根据垂径定理得到BH=HD，由BC的值求出BD和BH的值，然后在直角三角形OBH中，由30°角的余弦和BH的值即可求出OB的值，即为圆的半径．
【解析】
（1）连OD，（1分）
∵O、D分别是AB、BC的中点，∴OD∥AC，（2分）
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD（3分）
∴DE是⊙O的切线．（5分）

（2）∵OD∥AC，∴∠ODB=∠C
∵OB=OD，∴∠ODB=∠B（6分）
∵∠C=30°∴∠ODB=∠B=30°（7分）
过点O作OH⊥BD，则BH=HD，
∵BC=6cm，且D是BC的中点，∴BD=3cm，∴BH=cm，（8分）
在△OBH中，∠OHB=90°，∠B=30°，∴cos30°=，
∴OB==cm，即⊙O的半径为cm．（10分）