Question

如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

Answer

（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；
（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．
【解析】
（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）

（2）设抛物线解析式为：
y=a（x-6）2+6 （3分）
∵抛物线y=a（x-6）2+6经过点（0，0）
∴0=a（0-6）2+6，即a=-（4分）
∴抛物线解析式为：y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．（5分）

（3）设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-m2+2m）
D（m，-m2+2m）．（6分）
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（-m2+2m）+（12-2m）+（-m2+2m）
=-m2+2m+12
=-（m-3）2+15．（8分）
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．（9分）