Question

如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A⇒B⇒C⇒D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据题意，观察图象可得x与t的关系，进而可得答案；
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，易得BF=8，OF=BE=4，进而在Rt△AFB中，由勾股定理可得AB=10；进一步易得△ABF≌△BCH，再根据BH与OG的关系，可得C的坐标；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，易得△APM∽△ABF；进而可得对应边的比例关系，解可得AM、PM与t的关系，由三角形面积公式，可得答案．
（4）此题需要分类讨论：当P在BC上时，求得t的值；当P在CD上时，求得t的值；即当t=时；当P在BA上时，求得t的值．
【解析】
（1）Q（1，0）（1分）Q的图象是一条直线，且过点（11，0）．
且点P运动速度每秒钟1个单位长度．（2分）

（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB==10，（3分）
过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH．
∴BH=AF=6 CH=BF=8．
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12．
∴所求C点的坐标为（14，12）．（4分）

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
则△APM∽△ABF．
∴，
∴．
∴AM=t，PM=t，
∴PN=OM=10-t，ON=PM=t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
∴S=×（10-t）（1+t）=5+t-t2（0≤t≤10），（5分）
说明：未注明自变量的取值范围不扣分．
∵a=-，
∴当t=-=时，△OPQ的面积最大．（6分）
此时P的坐标为（，）．（7分）

（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，
当P在BC上时，8+（t-10）=（t+1），解得：t=-15（舍去）
当P在CD上时，14-（t-20）=（t+1），解得：t=，
即当t=时，OP与PQ相等．
当P在BA上时，t=，OP与PQ相等，（9分）
∴当t=或t=时，OP与PQ相等．