Question

已知抛物线y=x²+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x=m．过点A的直线绕点A （ m，0 ） 旋转，交抛物线于点B （ x，y ），交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x=m交于点D，设△AOB的面积为S₁，△ABD的面积为S₂．
（1）求这条抛物线的顶点的坐标；
（2）判断S₁与S₂的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据抛物线经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，得出c=0，图象与x轴的交点A、E的坐标，对称轴为直线x=2，代入即可求出答案；
（2）设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b（k≠0），代入求出y=-x+b．设点B1的坐标为（x1，-x+b），点B2的坐标为（x2，-x+b）．当交点为B1时，根据三角形的面积公式求出即可；当交点为B2时，根据三角形的面积公式求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，
∴c=0，A（2，0），图象与x轴的另一个交点E的坐标为（4，0），对称轴为直线x=2．
∴抛物线为y=x2+bx经过点E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x2-4x．
∴顶点坐标为（2，-4）．
答：这条抛物线的顶点的坐标是（2，-4）．

（2）答：S1与S2的大小关系是S1=S2．
证明：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-b，
∴y=-x+b，
∴点B1的坐标为（x1，-x+b），
点B2的坐标为（x2，-x+b），
当交点为B1时，
S1=×2×|-x1+b|=b-x1，
S2=×|b|×|2-x1|=b-x1，
∴S1=S2，
当交点为B2时，
S1=×2×|-x2+b|=-x2+b，
S2=×|b|×|x2-2|=-x2+b，
∴S1=S2，
综上所述，S1=S2．