Question

已知二次函数y=ax²+bx+c．
（1）若a=1，b=-3，且二次函数的图象经过点（-2，15），求c的值；
（2）若a+c=1，b=2，且二次函数图象与y轴的交点在直线y=1与y=2之间，试说明这个二次函数图象的对称轴在直线x=1的右侧；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（m，-a），与x轴交于A、B两点．请确定线段AB长的取值范围，并证明你的结论．

Answer

（1）由于a=1，b=-3，且二次函数的图象经过点（-2，15），代入y=ax2+bx+c中即可得到关于c的方程，解方程即可求解；
（2）由a+c=1得到a=1-c，而对称轴为直线x=-，又b=2，代入其中得到x=-，而二次函数图象与y轴的交点在直线y=1与y=2之间，由此得到1＜c＜2，利用这个结论即可解决问题；
（3）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），则x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，由求根公式得出x1、x2，根据AB=|x2-x1|求出线段AB长度的最小值
【解析】
（1）当a=1，b=-3时，二次函数为y=x2-3x+c，
因为该函数的图象经过点（-2，15），
所以15=（-2）2-3×（-2）+c，
解得c=5；

（2）∵由题意1＜c＜2，
∴0＜c-1＜1，
∴，
由二次函数知其对称轴，
由b=2，a=1-c，则，
∴二次函数知其对称轴大于1；

（3）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（m，-a），
所以am2+bm+c+a=0，
所以q为方程am2+bm+c+a=0的根，
于是，△=b2-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，
所以3a-c＞0，
所以b≥0．
设x1=，x2=，
则AB之间的距离====1-＞1．
即线段AB的长＞1．