Question

如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④．其中一定成立的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer

①易证△CDE≌△CDF，得CE=CF；②∠ACB+∠ACE=180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF=180°，所以∠ACB=∠EDF；③没理由证明DE是切线；④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE=∠DAB，所以∠DAB=∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD=弧BD．
【解析】
①∵∠DCE=∠DCF，∠DEC=∠DFC，DC=DC，
∴△CDE≌△CDF，得CE=CF．故成立；
②∠ACB+∠ACE=180°，根据四边形内角和定理得∠ACE+∠EDF=180°，所以∠ACB=∠EDF，故成立；
③连接OD、OC．则∠ODC=∠OCD．假如DE是切线，则OD⊥DE，因BE⊥DE，所以OD∥BE，∠DCE=∠ODC=∠OCD，而∠DCE=∠DCA，∠OCD≠∠DCA，故DE不是切线；
④根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE=∠DAB，所以∠DAB=∠DCA，根据圆周角定理判断弧AD=弧BD．故成立．
故选D．