Question

如图，P是射线y=x（x＞0）上的一个动点，以点P为圆心的圆与y轴相切于点C，与x轴的正半轴交于A、B两点．
（1）若⊙P的半径为5，求A、P两点的坐标？
（2）求以P为顶点，且经过点A的抛物线所对应的函数关系式？
（3）在（2）的条件下，上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D？请说明理由．
（4）试问：是否存在这样的直线l，当点P在运动过程中，经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上？若存在，请求出直线l所对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据射线的斜率先求出C点坐标，进而求得P点坐标，再求出圆P的方程，令y=0即可求出A点坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+3，将A点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（3）先求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式，即可验证点D不在抛物线上；
（4）可先根据直线OP的解析式设出P点的坐标，然后用P点的横坐标仿照（1）的方法求出A，B两点的坐标，然后用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据这个顶点坐标即可得出所求的直线解析式．
【解析】
（1）由题意可知，已知PC=5，
解得OC=3=yP，则xP=5，
故P点坐标为P（5，3），C点坐标为C（0，3），
圆P的方程为（x-5）2+（y-3）2=25，
令y=0，解得x=1或x=9，
由图象可知A、B点坐标为A（1，0），B（9，0）

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-5）2+3，
将A点坐标为A（1，0），代入y=a（x-5）2+3，
解得a=-，
故抛物线的解析式为y=-（x-5）2+3，

（3）因为D与C关于原点对称，故D点坐标为D（0，-3），
将D点坐标代入y=-（x-5）2+3，
即-3≠-（0-5）2+3=-，
故点D不在抛物线上；

（4）设P（m，n），m＞0，则n=m，
过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，则AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=m，
∴AQ=m，
∴A（m，0），B（m，0），C（0，m），
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-m），
将C（0，）代入解析式，
得a=，
∴y=（x-m）（x-m）
=（x2-2mx+m2）
=[（x-m）2-m2]
∴y=（x-m）2-m
∴抛物线的顶点坐标为（m，-m）
∴存在直线l：y=-x，
当P在射线y=x上运动时，过A，B，C三点的抛物线的顶点都在直线上．存在直线l：y=-x．