Question

如图，已知抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），将抛物线C₁绕点B旋转180°后得到抛物线C₂，求C₂的解析式；
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₃．抛物线C₃的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标？

Answer

（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P的为（-2，-5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=；
（2）抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，故可设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线过点B（1，0），代入即可求出答案；
（3）根据抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34．
分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，即Q点坐标为（ ，0）；
②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0），
③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
【解析】
（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得，
顶点P的为（-2，-5），（2分）
∵点B（1，0）在抛物线C1上，
∴0=a（x+2）2-5，
解得，a=；（4分）

（2）∵抛物线C2是由抛物线C1绕点B旋转180°得到的，P点坐标为（-2，-5）
∴顶点M的坐标为（4，5）
∴设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，
又抛物线C2过点B（1，0），代入B点解得：a=-，
故C2的解析式为：y=-（x-4）2+5．

（3）∵抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），（9分）
作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G
作PK⊥NG于K，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2BH=6，
∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．
H坐标为（-2，0），K坐标为（m，-5），
根据勾股定理得：
PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，
PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，
NF2=52+32=34，（10分）
①∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0）．
②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，
∴Q点坐标为（ ，0）．
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°
综上所得，当Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．（13分）