Question

在△ABC中，D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，以DE为折线，将△ADE翻折，设所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积为y．
（1）如图（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，，则y的值为______；
（2）如图（乙），若AB=AC=10，BC=12，D为AB中点，则y的值为______；
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，设AD=x．
①求y与x的函数解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）本题需先根据已知条件得出AC的长，再根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据面积之比等于相似比的平方即可求出结果．
（2）本题需先根据已知条件得出BC边上的高的值和S△ABC的值，再根据D为AB中点和DE∥BC，即可得出△ADE∽△ABC，最后根据面积之比等于相似比的平方即可求出结果；
（3）本题需先作AH⊥BC于点H，根据已知条件得出AH和S△ABC的值，再分两种情况0＜x≤5时和当5＜x＜10进行讨论，分别求出和的值，即可求出y的最大值．
【解析】
（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴S△ABC==24，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴，
∵S△ADE=，
∴y=；

（2）∵AB=AC=10，BC=12，
∴BC边上的高为8，
∴S△ABC==48，
∵D为AB的中点，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，=，
∴=，
∴=，
∴S△ADE=12，
∴y=12；

（3）如图，作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，
∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5，S△ABC=．
当点A′落在BC上时，点D是AB的中点，即x=5．
故分以下两种情况讨论：
①当0＜x≤5时，如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴．
∴．即．
∴当x=5时，．
②当5＜x＜10时，如上图，设DA′、EA′分别交BC于M、N．
由折叠知，△A′DE≌△ADE，
∴DA′=DA=x，∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
∴∠B=∠3．
∴DM=DB=10-x．
∴MA′=x-（10-x）=2x-10．
由①同理可得．又△MA′N∽△DA′E，
∴．
∴．
∴y=S△DA'E-S△MA'N==．
∵二次项系数，且当时，满足5＜x＜10，
∴y最大=10．
综上所述，当时，y值最大，最大值是10．