Question

如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=4，CF=2，求DF的长度．

Answer

（1）如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB=CG，又AB∥DC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明AF=GF，利用这些即可证明题目的结论；
（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE∽△GCE，由此得到AB：CG=BE：CE，由此可以求出CG，又AB∥FC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明DF=GF，然后利用已知条件和这些即可解决问题．
【解析】
（1）AB=AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G点，
根据图①得△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，
又AB∥DC，
∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；

 （2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，
根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，
∴AB：CG=BE：CE，
而BE：EC=1：2，AB=4，
∴CG=8，
又AB∥FC，
∴∠BAE=∠G，
而∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴DF=GF，
而CF=2，
∴DF=CG-CF=8-2=6．