Question

已知抛物线y=2x²-2（m-1）x-m．
（1）求证：无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、点B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂．
①当OA+OB=2时，求此抛物线的解析式；
②若抛物线与y轴交于点C，是否存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形；若存在，求出抛物线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先由和抛物线y=2x2-2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x2-2（m-1）x-m=0，根据判别式△，即可确定方程2x2-2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根，则可得无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）①由题意可知x1，x2是方程x2-4x+3（m-1）=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得x1+x2=m-1，x1•x2=-，又由OA+OB=-x1+x2，可得（x1+x2）2-4x1x2=4，即可求得m的值，求得此抛物线的解析式；
②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形，由点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m），可得只可能有∠ACB=90°，又由点A（x1，0）、点B（x2，0），且AC2+BC2=AB2，即可求得存在抛物线y=2x2+x-，使△ABC为直角三角形．
【解析】
（1）∵和抛物线y=2x2-2（m-1）x-m对应的一元二次方程为2x2-2（m-1）x-m=0，
∵△=4（m-1）2+8m（1分）=4m2+4，
∵m2≥0，
∴4m2+4＞0，
∴△＞0，
∴方程2x2-2（m-1）x-m=0必有两个不相等的实数根，
∴无论m为任何实数，此抛物线与x轴总有两个交点．（1分）

（2）由题意可知x1，x2是方程x2-4x+3（m-1）=0的两个实数根，
∴x1+x2=m-1，x1•x2=-，（1分）
①∵x1＜0＜x2，
∴OA=-x1，OB=x2，
∴OA+OB=-x1+x2，
∴-x1+x2=2，
∴（x1+x2）2-4x1x2=4，（1分）
∴（m-1）2-4×（-）=4，
解得：m=±，（1分）
∵x1•x2＜0，
∴m＞0，
∴m=，
∴所求抛物线的解析式为y=2x2-2（-1）x-，（1分）
②设存在这样的抛物线，使△ABC为直角三角形，
∵点A、B分别在原点的两侧，点C（0，-m），
∴只可能有∠ACB=90°，（1分）
又∵点A（x1，0）、点B（x2，0），且AC2+BC2=AB2，
∴x12+m2+x22+m2=（x2-x1）2，
∴m2=，
解得m=0或m=（1分）
但m=0不合题意，舍去，
∴m=，
∴y=2x2+x-，
∴存在抛物线y=2x2+x-，使△ABC为直角三角形（1分）