Question

已知在平面直角坐标系中，抛物线l₁的解析式为y=-x²，将抛物线l₁平移后得到抛物线l₂，若抛物线l₂经过点（3，-1），且对称轴为x=1．
（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）求抛物线l₂的顶点坐标；
（3）若将抛物线l₂沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l₃，设抛物线l₃的顶点坐标为B，直线OB于抛物线l₃的另一个交点为C，当OB=OC时，求C点坐标．

Answer

（1）根据题意可设抛物线l2的解析式：y=-（x-1）2+k，又由抛物线l2经过点（3，-1），即可求得抛物线l2的解析式；
（2）由抛物线l2的解析式即可得抛物线l2的顶点坐标；
（3）首先设l3的解析式为：y=-（x-1）2+3+m，然后由抛物线l3的顶点坐标为B，可求得B的坐标，又由直线OB于抛物线l3的另一个交点为C，当OB=OC时，可得点C的坐标，然后代入函数解析式，即可求得答案．
【解析】
（1）根据题意，设抛物线l2的解析式为：y=-（x-1）2+k，
将点（3，-1）代入函数解析式，
∴-1=-4+k，
解得：k=3，
∴抛物线l2的解析式为：y=-（x-1）2+3；

（2）∴抛物线l2的顶点坐标为（1，3）；

（3）设l3的解析式为：y=-（x-1）2+3+m，
∴b点坐标为（1，3+m），
∵B，O，C三点共线且OB=OC，
∴C点坐标为（-1，-3-m），
∵C在l3上，
∴-（-1-1）2+3+m=-3-m，
∴m=-1，
∴C点坐标为（-1，-2）．