Question

已知△ABC，AB=AC=2，∠A=90°，取含45°角的直角三角尺，将45°的顶点放在BC中点O处，并绕点O处顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB、AC交于点E、F时，如图2，设CF=x，BE=y．
（1）求y与x的函数解析式，并写出x的范围；
（2）三角尺绕点O旋转过程中，△OEF能否成为等腰三角形？如果能，求出相应的x值；如果不能，请说明理由；
（3）如果以O为圆心的圆与AB相切，探究三角尺绕点O旋转的过程中，EF与圆O的位置关系．

Answer

（1）如图，OGAH是边长为1的正方形，把△OEH绕O顺时针旋转90°，到达△ORG，
根据旋转的性质得到△ORF≌△OEF，然后可以得到EF=RF=HE+GF，而AE=2-x，AF=2-y，接着在Rt△AEF中，利用勾股定理即可求出y与x的函数解析式及自变量的取值范围；
 （2）能，若△OEF能否成为等腰三角形，有三种情况：
①OE=OF，那么E、F关于直线AO对称，那么AE=AF，由此列出方程解决问题；
②OE=EF，那么OE2=EH2+HO2=（x+y-2）2，解方程即可求解；
 ③OF=EF，那么OF2=GF2+OG2=（x+y-2）2，解方程即可求解；
（3）如图，根据（2）若AE=AF，E、F关于AO对称，此时EF与O之间的结论可以求出为1，也可以⊙O的半径为1，由此可以判定⊙O与EF相切，其他位置是相交．
【解析】
（1）如图，OGAH是边长为1的正方形，
把△OEH绕O顺时针旋转90°，到达△ORG，
∴△ORF≌△OEF，
∴EF=RF=HE+GF=x-1+y-1=x+y-2
而AE=2-x，AF=2-y，
在Rt△AEF中，
（2-x）2+（2-y）2=（x+y-2）2，
化简即得：xy=2，
即y=（1≤x≤2）；

（2）能，
若△OEF能否成为等腰三角形，
①OE=OF，那么E、F关于直线AO对称，那么AE=AF，
∴2-x=2-y，而y=，
∴x=；
②OE=EF，OE2=EH2+HO2=（x+y-2）2，
∴y=2，即x=1，
③OF=EF，OF2=GF2+OG2=（x+y-2）2，
∴y=1，即x=2．

（3）如图，设⊙与AB相切，根据圆和等腰三角形的对称性得到AC与圆也相切，
切点为D，连接OD，过E作EH⊥OB与H，
∵O为BC的中点，AB=2
∴OD=1，
根据（2）若EF∥BC，那么E、F关于AO对称，此时BE=，
在Rt△EHB中，∠B=45°，
∴EH=1=OD，
∴EF与⊙O相切，
当EF在其他位置，EF与⊙O相交．