Question

如图（1）正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动到点M，点C），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H〔如图（2）〕．问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（其中△EFO顶点 E、F、O与△EHG顶点E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由ABCD为正方形，得到∠A与∠B都为直角，根据切线的判断方法，得到AD与BC都为圆的切线，又PF为圆O的切线，根据切线长定理即可得到FE=FA，PE=PB，根据等量代换的方法得到四边形CDFP的周长等于AD+BC+CD，根据正方形的边长Wie2，求出周长即可；
（2）连接OE，由PF为圆O的切线，得到OE与PF垂直，由AO=OE，OF为公共边，利用“HL”的方法即可得到Rt△AOF≌Rt△EOF，故∠AOF=∠EOF，同理得到∠BOP=∠EOP，即可得到∠FOP为90°，由OE与FP垂直，根据两对对应角相等的两三角形相似得到Rt△EOF∽Rt△EPO，由相似得出对应边成比例，即可列出y与x的函数关系式，根据正方形的边长为2写出自变量x的取值范围即可；
（3）存在．理由是：当Rt△EFO∽Rt△EHG时，必须使∠EHG=∠EFO，而根据平行得到∠EHG=∠EOA=2∠EOF，即∠EFO=2∠EOF，又因为∠FEO为90°，所以∠EOF=∠AOF=30°，根据30°的正切值求出AF的长即为y的值，然后代入（2）中的函数关系式即可求出x的值．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，（1分）
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，（1分）
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=6；（1分）

（2）如图1，连接OE，∵PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF（1分）
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF（1分）
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=，（1分）
∵PF是⊙O的切线，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO
∴OE2=EP•EF，即OE2=PB•AF，（1分）即12=x•y，
∴y=，（1分）自变量x的取值范围是1＜x＜2；（1分）

（3）存在．理由如下：
如图2，
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，（1分）
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=，（1分）即x==（1分）
解得：，
∴当时，△EFO∽△EHG．