Question

如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在直角坐标系中如图摆放，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0）．
（1）直接写出线段AB的中点P的坐标为______；
（2）求直线OC的解析式；
（3）动点M、N分别从O点出发，点M沿射线OC以每秒个单位长度的速度运动，点N沿线段OB以每秒1个长度的速度向终点B运动，当N点运动到B点时，M、N同时停止运动，设△PMN的面积为S（S≠0）运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

Answer

（1）由于点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0），而P是线段AB的中点，由此即可确定P的坐标；
（2）如图，过点C作CE⊥OB，CD⊥OA，由此得到∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°，接着得到∠ACD+∠ACE=90°，然后利用
等腰三角形的直线可以构造确定条件证明△ACD≌△BCE，从而得到CE=CD，进一步得到点C在第一象限的角平分线上，由此即可求出直线OC的解析式；
（3）如图，①当点M在点P左侧时，过点P作PF⊥OB，由题意可知OM=t，ON=t，然后根据已知条件可以分别把线段 MN、NF等线段用t表示，然后就可以求出函数解析式；
 ②当点M在点P右侧时，过点P作PG⊥OB，方法和①一样可以求出函数解析式解决问题．
【解析】
（1）P（3，1）；

（2）过点C作CE⊥OB，CD⊥OA
∴∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°∴∠ACD+∠ACE=90°
在等腰Rt△ABC中
AC=BC，∠ACB=90°
∴∠BCE+∠ACE=90°（3分）
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴CE=CD
∴点C在第一象限的角平分线上（4分）
∴直线OC的解析式为y=x；

（3）①当点M在点P左侧时
过点P作PF⊥OB
由题意可知
OM=tON=t（5分）
∵点M在函数y=x上
∴M（t，t）
∵N（t，0）
∴MN⊥x轴
∴MN=t
∵点P（3，1）（6分）
∴PF=1，OF=3
∴NF=OF-ON=3-t；
∴S=S梯形PMNF-S△PFN==-；
 ②当点M在点P右侧时
过点P作PG⊥OB
由①可知（8分）
∴MN⊥x轴
∴MN=t
∵点P（3，1）（9分）
∴PG=1，OG=3
∴NG=ON-OG=t-3
∴S=S梯形PMNG-S△PGN（10分）
S=
=（3＜t≤6）（11分）
综上，S=-．