Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A、B（A在B的右边），与y轴正半轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，抛物线的对称轴为直线l交CD于点M，交x轴于点N，四边形CDAN是平行四边形．
（1）若a=-1，，求b的值；
（2）若a=-1，求b与c的关系；
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，求PM：OC的值．

Answer

（1）先将a和c的值代入y=ax2+bx+c，求出C点坐标，结合四边形CDAN是平行四边形便可求出b的值；
（2）将a=-1代入y=ax2+bx+c，再根据二次函数的性质便可求出b与c的关系；
（3）先求出抛物线的顶点P的坐标，便可求出PM：OC的值．
【解析】
（1）∵a=-1，c=，
∴抛物线的解析式为y=-x2+bx+，
∴C（0，），
∵点N在对称轴上，
∴N（，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，），四边形CDAN为平行四边形，
∴AN=CD=b，
∴A（，0），
∴-（-）2+•b+=0，
b=±，
∵-＞0，
∴b=；

（2）∵a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=b，
∴A（，0），
∴-（-）2+•b+c=0，
∴4c=3b2；

（3）∵抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（-，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（-，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=-，
∴A（-，0），
∴-（-）2+•b+c=0，
4ac=-3b2；
∵P为抛物线的顶点，∴P（-，），
∴PM=-c=-，
∴==-==．