Question

已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．

Answer

（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可证得结论．
证明：（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=AB，MD=AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；

（2）∵ME=AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．