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已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射...

已知∠MON=60°,射线OT是∠MON的平分线,点P是射线OT上的一个动点,射线PB交射线ON于点B.
(1)如图,若射线PB绕点P顺时针旋转120°后与射线OM交于A,求证:PA=PB;
(2)在(1)的条件下,若点C是AB与OP的交点,且满足PC=manfen5.com 满分网PB,求:△POB与△PBC的面积之比;
(3)当OB=2时,射线PB绕点P顺时针旋转120°后与直线OM交于点A(点A不与点O重合),直线PA交射线ON于点D,且满足∠PBD=∠ABO.请求出OP的长.
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(1)可以把求证PA=PB的问题转化为证明△PAF≌△PBG即可; (2)首先证明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解; (3)分点A在射线OM上,点A在射线OM的反向延长线上两种情况进行讨论,作OT的垂线,利用三角函数即可求解. (1)证明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,(1分) ∵OP平分∠MON, ∴PF=PG,(2分) ∵∠MON=60°, ∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,(3分) 又∵∠APB=120°, ∴∠APF=∠BPG, ∴△PAF≌△PBG,(4分) ∴PA=PB;(5分) (2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°, ∴∠PAB=∠PBA=30°,(6分) ∵∠MON=60°,OP平分∠MON, ∴∠TON=30°,(7分) ∴∠POB=∠PBC,(8分) 又∠BPO=∠OPB, ∴△POB∽△PBC,(9分) ∴, ∴△POB与△PBC的面积之比为4:3;(10分) (3)①当点A在射线OM上时(如图乙1), , 易求得:∠BPD=∠BOA=60°, ∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°, ∴∠OBA=∠PBD=75°, 作BE⊥OT于E, ∵∠NOT=30°,OB=2, ∴BE=1,OE=,∠OBE=60°, ∴∠EBP=∠EPB=45°, ∴PE=BE=1, ∴OP=OE+PE=+1,(12分) ②当点A在射线OM的反向延长线上时(如图乙2), , 此时∠AOB=∠DPB=120°, ∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°, ∴∠OBA=∠PBD=15°, 作BE⊥OT于E, ∵∠NOT=30°,OB=2, ∴BE=1,OE=,∠OBE=60°, ∴∠EBP=∠EPB=45°, ∴PE=BE=1, ∴OP=-1,(14分) ∴综上所述,当OB=2时,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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