Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer

（1）设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法可解得，，即直线AB的函数表达式为；
（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=，CD=BC÷tan∠ADB=3÷，可求OD=OC+CD=，所以D（，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得．
【解析】
（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B点坐标为（1，3），
设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，
由得，，
∴直线AB的函数表达式为

（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D点为所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，
∴OD=OC+CD=，∴D（，0）；

（3）这样的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如图1，
当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则，
解得，
如图2，
当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则，
解得．