Question

王叔叔每天早晨都要进行长跑锻炼身体，某天他跑步的速度v（米/分）与时间（分）的函数图象如图所示．过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔所跑过的路程s（米）．
（1）当t=5时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）王叔叔这天锻炼跑过的路程有没有超过5750米？如果没有超过，请说明理由；如果超过了5750米，那他跑到多少分钟的时候路程正好5750米？

Answer

（1）设直线l交v与t的函数图象于D点．由图象知，点A的坐标为（10，200），故直线OA的解析式为v=20t，然后将t的值代入求解即可．
（2）分类讨论：当0≤t≤10时；当10＜t≤30时；当30＜t≤40时；
（3）根据t的值对应求S，然后解答．
【解析】
设直线l交v与t的函数图象于D点．
（1）由图象知，点A的坐标为（10，200），故直线OA的解析式为v=20t．
当t=5时，D点坐标为（5，100），
∴OT=5，TD=100，
∴S=×5×100=250（m）．

（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=20t，
∴S=•t•20t=10t2；
当10＜t≤30时，此时OT=t，AD=ET=t-10，TD=200，
∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×200+200（t-10）=200t-1000；
当30＜t≤40时，
∵B，C的坐标分别为（30，200），（40，0），
∴直线BC的解析式为v=-20t+800，
∴D点坐标为（t，-20t+800），
∴TC=40-t，TD=-20t+800，
∴S=S梯形OABC-S△DCT=（20+40）×200-（40-t）（-20t+800）=-10（40-t）2+6000；

（3）∵当t=30时，S=30×200-1000=5000（m）；
当t=40时，S=-10（40-40）2+6000=6000（m），而5000＜5750＜6000，
所以王叔叔跑过了5750m．
由-10（40-t）2+6000=5750，解得t=35或t=45（不合题意，舍去）．
所以王叔叔出发35分后跑了5750米．