Question

在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为一个单位的正方形．
（1）计算△ABC的面积．
（2）判断△ABC的形状？说明理由．
（3）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A₁B₁C₁，并求出△ABC在上述旋转过程中所扫过的面积．

Answer

（1）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式进行计算即可；
（2）利用相应的直角三角形，分别求出AB2、BC2、AC2的值，再根据勾股定理逆定理进行判断是直角三角形；
（3）先根据旋转的旋转找出旋转后的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可得到△A1B1C1，△ABC旋转过程中所扫过的面积等于以AB为半径的90°的扇形的面积与△ABC的面积的和，然后列式计算即可．
【解析】
（1）S△ABC=4×4-×4×2-×2×1-×3×4，
=16-4-1-6，
=5；

（2）AB2=42+32=25，BC2=22+12=5，AC2=42+22=20，
∵25=5+20，
即AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；

（3）图形如图，△ABC旋转过程中所扫过的面积为扇形OAA1的面积与△ABC的面积的和，
S扇==，
∴△ABC在旋转过程中所扫过的面积是+5．