Question

某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，每降价1元，月销售量可增加2万件．
（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出月销售利润z（万元）（利润=售价-成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）为使月销售利润最大，销售单价应是多少元？
（4）利用（2）中所求函数的大致图象，求出使月销售利润不低于440万元时销售单价的取值范围．

Answer

（1）根据月销售量y=原来销售量+2（40-x），列出函数关系式；
（2）根据月销售利润z=售价-成本价=xy-18y，列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求最大利润及此时的销售单价；
（4）根据自变量x的取值范围，画出图象，由（2）的函数关系式求月销售利润不低于440万元时销售单价的取值范围．
【解析】
（1）依题意，得月销售量y=20+2（40-x）=-2x+100；

（2）依题意，得z=xy-18y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1800；

（3）∵z=-2x2+136x-1800=-2（x-34）2+512，且-2＜0，
∴当x=34时，z最大，即销售单价为34元时，月销售利润最大；

（4）依题意，得18≤x≤40，当z=440万元时，即
-2（x-34）2+512=440，
解得x=28或40，
∴月销售利润不低于440万元时销售单价的取值范围是28≤x≤40．