Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=4，OA=8，AB=4．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）若D是线段OB上的点，OD=3DB，直线CD交x轴于E，求直线CD的解析式；
（3）若点P是（2）中直线CD上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过B作BF⊥x轴于F，则OF=BC=4，得到AF=4，在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF，即可得到B点坐标；
（2）过D作DE⊥x轴于E，则Rt△ODE∽Rt△OBF，得到OD：OB=OE：OF=DE：BF，而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，求出OE=3，DE=6，确定D点坐标，然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式；
（3）根据菱形的性质得：当OC为菱形的对角线，即P1Q1垂直平分OC，P1的纵坐标为4，把y=4代入y=-x+8可确定P1的坐标，即可得到Q1的坐标；当OC为菱形的边长，则P2O=OC=Q2P2=8，P2Q2∥OC，设P2（a，b），则Q（a，b+8），则a2+b2=82，b=-a+8，解出a和b的值即可得到Q2的坐标；同样的方法可求出Q3的坐标．
【解析】
（1）过B作BF⊥x轴于F，如图，
∵CB=4，OA=8，
∴AF=8-4=4，
在Rt△ABF中，AB=4，
∴BF==8，
∴C点坐标为（0，8）
B点坐标为（4，8）；

（2）过D作DG⊥x轴于E，如图，
∴Rt△ODG∽Rt△OBF，
∴OD：OB=OG：OF=DG：BF，
而OD=3DB，即OD：OB=3：4，OF=4，BF=8，
∴OE=3，DG=6，
∴D点坐标为（3，6）；
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，8）、D（3，6）代入得，b=8，3k+b=6，解得k=-，b=8，
∴直线CD的解析式为y=-x+8；

（3）存在．理由如下：
如图，
当OC为菱形的对角线，即P1Q1垂直平分OC，
∴P1的纵坐标为4，
把y=4代入y=-x+8解得x=6，
∴P1的坐标为（6，4），
∴Q1的坐标为（-6，4）；
当OC为菱形的边长，
∴P2O=OC=Q2P2=8，P2Q2∥OC，
设P2（a，b），则Q（a，b+8），
∴a2+b2=82，b=-a+8，解得a=，b=，
∴Q2的坐标为（，）；
同样的方法可求出Q3的坐标为（-，）；
所以满足条件的点Q的坐标为（-6，4）；（，）；（-，）．