Question

如图，在直角坐标系中，y轴是边长为2的等边△BAD的对称轴，x轴是等腰△BDC的对称轴．
（1）试求出经过点A、点B，且对称轴为直线x=1的抛物线的解析式；
（2）把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC'．
①问点C'是否在（1）中的抛物线上？
②设BC'交直线x=1于点Q．若点P是（1）中的抛物线上的一个动点，过点P作PT⊥直线x=1，垂足为T，问：在抛物线上是否存在着点P，使得以P、T、Q为顶点的三角形与△QDC'相似？若存在，写出所有符合上述条件的点P的横坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先求出AB两点的坐标，结合抛物线的对称轴便可求出抛物线的解析式；
（2）①先求出C′点坐标，将C′点坐标代入抛物线的解析式，即可求得C′在抛物线上；
②仔细阅读题意结合图象便可发现存在点P使得△QDC′∽△PTQ，有四个符合条件的点P．
【解析】
（1）由题意可知A（-1，0）B（0，），
抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
将三点坐标代入y=ax2+bx+c得
，
解得，
故抛物线的解析式为；

（2）①BD==2，
∵△BCD为等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C点坐标为（0，-），
把△BDC沿着直线BD翻折后，得到△BDC′．
可求得点C′的坐标为（3，0），
代入抛物线解析式符合，
即点C'在抛物线上．
②存在．共有4个点，
它们的横坐标分别是：-1，2，，．