Question

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在斜边BC的中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、点F，设BE=x，CF=y，∠BOE=α（45°≤α≤90°）．
（1）试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）试判断∠BEO与∠OEF的大小关系？并说明理由．
（3）在三角板绕O点旋转的过程中，△OEF能否成为等腰三角形？若能，求出对应x的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）根据三角形的外角性质可得∠EOC=∠B+∠BEO，又∠B=∠EOF=45°，从而得到∠BEO=∠FOC，然后证明△BEO与△COF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，再根据勾股定理及点O是BC的中点，求出OB、OC的长度，整理即可得到y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例，转化出，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似证明△BEO与△OEF相似，然后根据相似三角形的对应角相等即可证明；
（3）因为等腰三角形的腰没有明确，所以分①当EO=EF时，即点F与点A重合时；②当EF∥BC时，EO=FO；③当FE=FO时，即α=90°，点E与点A重合时，三种情况进行讨论求解．
（1）【解析】
∵∠EOC=∠B+∠BEO，∠B=∠EOF=45°，
∴∠BEO=∠FOC=135°-α，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BEO∽△COF（AA），
∴，
在Rt△ABC中，∵AB=AC=2，∠A=90°，点O是BC的中点，
∴BO=CO=BC=，
又CF=y，BE=x，
∴y=（1≤x≤2）；

（2）∠BEO=∠OEF．
理由如下：由（1）得：△BEO∽△COF，
∴，
又∵CO=OB，
∴，
又∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF，
∴∠BEO=∠OEF；

（3）△OEF能成为等腰三角形．
①当EO=EF时，即点F与点A重合时，此时x=1，△OEF是等腰三角形．
②当EF∥BC时，EO=FO，此时x=y，由可得：（舍负），△OEF是等腰三角形．
③当FE=FO时，即α=90°，点E与点A重合时，此时x=2，△OEF是等腰三角形．