Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）AE是⊙O的切线吗？请说明理由；
（2）若AE=4，求BC的长．

Answer

（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；
（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．
【解析】
（1）AE是⊙O的切线．
理由如下：连接AO．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ODA．
∴∠ADE=∠OAD．
∵AE⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED证得OA⊥AE也可．）
∴AE是⊙O的切线．

（2）延长AO交BC于点F．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．
∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．
∵AF⊥BC，且AF过圆心，
∴BC=2CF=8．